高等数学

数列极限与连续

• 若$\lim{f(x)}$存在，$\lim{g(x)}$不存在，则$\lim{[f(x)}\pm{g(x)}]$必不存在.

• 若$\lim{f(x)}$不存在，$\lim{g(x)}$不存在，则$\lim{[f(x)}\pm{g(x)}]$不一定存在.

• 若$\lim{f(x)}=A\not=0$，$\lim{f(x)g(x)}=A\lim{g(x)}$，即乘除法中非零因子可以先提出.

• 泰勒展开式中，当$x\rightarrow 0$时，可进行等价无穷小替换，消去高阶无穷小.

$$\sin x = x -\frac{x^3}{6} + ...,-\infty<x<+\infty；$$

$$\arcsin x = x+\frac{x^3}{6}+...；$$

$$\cos x =1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+...,-\infty<x<+\infty；$$

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+...；$$

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+...；$$

$$\ln(1+x) =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...,-1<x\le1；$$

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...,-\infty<x<+\infty；$$

$$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+..., \begin{cases}x\in(-1,1),a\le1\\ x \in (1,1],-1<a<0\\ x \in [-1,1],a>0,a\notin \rm{N}_+\\ x \in \rm{R},a\in \rm{N}_+ \end{cases}；$$

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3...,-1<x<1；$$

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3...,-1<x<1.$$

• 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点（左右极限都存在）.

• 无穷间断点和震荡间断点统称为第二类间断点（左右极限中有不存在）.

数列极限

• 等比数列前$n$项的和$S_n=\begin{cases} na_1 &r=1\\ \cfrac{a_1(1-r^n)}{1-r} & r\not=1\end{cases}$.

• $\sqrt{ab} \le {\cfrac{a+b}{2}} \le\sqrt{\cfrac{a^2+b^2}{2}}，(a,b\ge0)$.

• 当$0<x<\cfrac{\pi}{4}$时，$x<\tan x<\cfrac{4}{\pi}x$.

• 当$0<x<\cfrac{\pi}{2}$，$\sin x>\cfrac{2}{\pi}x$.

一元函数微分学

• 若$f(x)$是可导的偶函数，则$f'(x)$是奇函数.

• 若$f(x)$是可导的奇函数，则$f'(x)$是偶函数.

• 若$f(x)$是可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$是以周期为$T$的周期函数.

• $\spadesuit$墙外抢救

  • $f(x)=(x+1)(x-1)|(x+1)(x-1)(x-2)|$，判断不可导点.

    • 让绝对值内的值等于$0$，求出对应的点，再计算绝对值外值等于$0$的点，若有重合则不属于不可导点，此点被抢救.

    • 绝对值内$f(x)$为$0$的点：$x=-1$，$x=1$，$x=2$，在绝对值外$f(x)$为$0$的点$x=-1$，$x=1$，存在重合的$x=-1$，$x=1$，因此不可导点只有一个$x=2$.

• 基本求导公式

$$\sin'x=\cos x；$$

$$\cos'x=-\sin x；$$

$$\tan'x=\sec^2x；$$

$$\cot'x=-\csc^2x；$$

$$\arcsin'x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}；$$

$$\arccos'x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}；$$

$$\arctan'x=\frac{1}{1+x^2}；$$

$$\sec'x=\sec x\cdot{\tan x}；$$

$$\csc'x=-\csc x\cdot{\cot x}；$$

$$\ln'(x+\sqrt{x^2+1})=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}；$$

$$\ln'(x+\sqrt{x^2-1})=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}.$$

• 反函数的导数

  • 设$y=f(x)$为单调，可导函数，且$f'(x)\not=0$，则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\cfrac{dx}{dy}=\cfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$，即$\varphi'(y)=\cfrac{1}{f'(x)}$.

  • 记$f'(x)=y'_x$，$\varphi'(y)=x'_y$，则

$$y''_{xx}=-\frac{x''_{yy}}{(x'_y)^3}.$$

• 参数方程确定的函数的导数

  • 设函数$y=y(x)$由参数方程为$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t) \end{cases}$确定，$t$是参数，$\varphi(t)$，$\psi(t)$均可导，$\varphi'(x)\not=0$则

$$\frac{dy}{dx}=\cfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.$$

• 若$\varphi$，$\psi$二阶均可导，$\varphi'(x)\not=0$则

$$\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{d(\cfrac{dy}{dx})/dt}{dx/dt}= \frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}.$$

• 莱布尼茨公式

  • 设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶导，则

$$(uv)^{(n)}=u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+C_n^2u^{(n-2)}v''+...+C_n^{n-1}u'v^{(n-1)}+uv^{(n)}.$$

• 曲率公式

$$K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}.$$

一元函数微分学应用-几何应用

• 设函数$f(x)$二阶可导，在$x=x_0$处取得最大值，则有$f''(x_0)\le0$.

• 二阶可导点是拐点的必要条件：设$f''(x_0)$存在，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点，则$f''(x_0)=0$.

• 二阶可导点是拐点的充分条件

  • 在某点去心领域内二阶导数存在，在该点的左右两边$f''(x_0)$变号，则为拐点.

  • $f(x)$在$x=x_0$的某邻域内三阶可导，$f''(x_0)=0$，$f'''(x_0)\not = 0$，则为拐点.

  • 设$f(x)$在$x_0$处$n$阶可导，且$f^{(m)}(x_0)=0(m=2,...,n-1)$，$f^{(n)}(x_0) \not = 0(n\ge3)$，则当$n$为奇数时，点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点.

• 设多项式$f(x)=(x-a)^ng(x)(n>1)$，且$g(a) \not = 0$，则当$n$为偶数时，$x=a$是$f(x)$的极值点，则当$n$为奇数时，$x=a$是$f(x)$的拐点.

• 设多项式$f(x)=(x-a_1)^{n_1}(x-a_2)^{n_2}...(x-a_k)^{n_k}$，其中$n_i$是正整数，$a_i$是实数，且互不相等，记$k_1$为$n_i=1$的个数，$k_2$为$n_i>1$且$n_i$为偶数的个数，$k_3$为$n_i>1$且$n_i$为奇数个数，则极值点的个数为$k_1+2k_2+k_3-1$，拐点个数为$k_1+2k_2+3k_3-2$.

• 渐近线，在同一个方向上，有水平渐近线则无斜渐近线.

$$若\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\infty(或\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty)，\\则称为x=x_0是一条铅直渐近线.$$

$$若\lim_{x\to+\infty}f(x)= y_1，则称为y=y_1是一条水平渐近线;\\ 若\lim_{x\to-\infty}f(x)= y_2，则称为y=y_2是一条水平渐近线.$$

$$若\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)= y_0,\\ 则称为y=y_0是一条水平渐近线.$$

$$若\lim_{x\to +\infty}\cfrac{f(x)}{x}=a_1，\lim_{x\to +\infty}f(x)-a_1x=b_1,\\ 则y=a_1x+b_1是曲线的一条斜渐近线.$$

$$若\lim_{x\to -\infty}\cfrac{f(x)}{x}=a_2，\lim_{x\to -\infty}f(x)-a_2x=b_2,\\ 则y=a_2x+b_2是曲线的一条斜渐近线.$$

$$若\lim_{x\to +\infty}\cfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to -\infty}\cfrac{f(x)}{x}=a，\lim_{x\to +\infty}f(x)-ax=\lim_{x\to -\infty}f(x)-ax=b,\\ 则y=ax+b是曲线的一条斜渐近线.$$

一元函数微分学应用-中值定理、微分等式和微分不等式

• 费马定理：设$f(x)$在点$x_0$处满足$\begin{cases}可导\\ 取极值 \end{cases}$，则$f'(x)=0$.

• 罗尔定理：设$f(x)$满足$\begin{cases}在[a,b] 上连续 \\ 在(a,b)上可导 \\f(a)=f(b) \end{cases}$，则存在$\xi \in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$.

• 设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$\lim_{x\rightarrow a^+} {f(x)}=\lim_{x \to b^-}{f(x)}=A$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使$f'(\xi)=0$.

• 使用罗尔定理需要构造辅助函数$F(x)$.

  • 见到$f'(x)+f(x)\varphi' (x)$，令$F(x)=f(x)e^{\varphi(x)}$.

  • 见到 $f'(x)+f(x)$，令$F(x)=f(x)e^x$.

  • 见到$f'(x)-f(x)$，令$F(x)=f(x)e^{-x}$.

  • 见到$f'(x)+kf(x)$，令$F(x)=f(x)e^{kx}$.

  • $(uv)''=u''v+2u'v'+uv''$.

  • 见到$f(x)f'(x)$，令$F(x)=f^2(x)$.

  • 见到 $[f'(x)]^2+f(x)f''(x)$，令$F(x)=f(x)f'(x)$.

• 拉格朗日中值定理，函数在$(a,b)$上可导，在$[a,b]$上连续，则

$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),\xi\in(a,b).$$

• 带拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式，

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x-x_0)^n \\ +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$$

• 柯西中值定理，条件同上，

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\eta)}.$$

• 若$f(x)$在区间$I$上$n$阶可导，且$f^{(n)}(x)\not= 0$，即$f^{(n)}(x) = 0$无实根，于是$f(x)=0$至多有$n$个实根.

一元函数积分学的性质与概念

• 连续函数$f(x)$必有原函数$F(x)$.

• 含有第一类间断点和无穷间断点的函数$f(x)$在包含该间断点的区间内必没有原函数$F(x)$，没有原函数，则不定积分不存在.

• 区间有限，函数有界，则定积分存在.

• 可积函数必有界，即若定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$存在，则$f(x)$在$[a,b]$上必有界.

• $\int_{a}^{b}dx=b-a=L$，其中$L$是$[a,b]$的长度.

• 无论$a,b,c$大小如何，总有

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx.$$

• 设$k_1$，$k_2$为常数，则

$$\int_{a}^{b}k_1f(x)\pm k_2g(x)dx=k_1\int_{a}^{b}f(x)dx\pm k_2\int_{a}^{b}g(x)dx.$$

• 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$，使得

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a).$$

• 变限积分的性质

  • 函数$f(x)$在$I$上可积，则函数$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$在$I$上连续.

  • 函数$f(x)$在$I$上连续，则函数$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$在$I$上可导，且$F'(x)=f(x)$.

  • 若$x=x_0\in I$是$f(x)$唯一的可去间断点，则$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$在$x_{0}$处可导，且$F'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$.

  • 若$x=x_{0}\in I$是$f(x)$唯一的跳跃间断点，则$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$在$x_{0}$处不可导，且

$$\begin{cases}F'_-(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x), \\\\ F'_+(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x), \end{cases}$$

• 两个重要结论

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\begin{cases} \text{收敛}，0<p<1 \\ 发散，p \ge1\end{cases}.$$

$$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\begin{cases} 收敛，p>1\\ 发散，p\le1\end{cases}.$$

$$当(ax+b)\ge k>0时，\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{(ax+b)^p}dx依然满足\begin{cases}收敛，p>1\\ 发散，p\le1\end{cases}.$$

• 当$f(x)$为奇函数，且$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$收敛时，则

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\int_{0}^{+\infty}f(x)dx.$$

• 当$f(x)$为偶函数，且$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$收敛时，则

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0.$$

一元函数积分学的计算

• 基本积分公式，计算原函数记得加$C$

$$\int a^xdx= \frac{a^x}{\ln a}+C；$$

$$\int \tan x dx= -\ln |\cos x|+C；$$

$$\int \cot x dx= \ln|\sin x| + C；$$

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C(a>0)；$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin\frac{x}{a}+C(a>0)；$$

$$\int \sec xdx= \ln|\sec x +\tan x|+C；$$

$$\int \csc dx= \ln|\csc x -\cot x|+C；$$

$$\int \sec x \tan xdx= \sec x+C；$$

$$\int \csc x \cot x dx = -\csc x+C；$$

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}}dx = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C；$$

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}}dx = \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(|x|>|a|)；$$

$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}\ln{|\frac{x-a}{x+a}|}+C；$$

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx = \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C；$$

$$\int \tan^2xdx =\tan x -x +C；$$

$$\int \cot^2xdx = -\cot x-x+C；$$

$$\int \sec^2xdx = \tan x+C.$$

• 分部积分法，适用于对$\int vdu$积分较为容易的情景.

$$\int udv= uv - \int vdu\\ 反 对 幂 三 指\\ u\leftarrow \rightarrow v$$

• $\spadesuit$表格法求不定积分

  求$\int(x^2+x)e^xdx$，作两行表格，第一行写$u$(易于求导的变量)，第二行写$v$(易于求原函数的变量)

  -	-	-	-	-
  $x^2+x$	$2x+1$	$2$	$0$	求导
  $e^x$	$e^x$	$e^x$	$e^x$	求原函数

  从第一列开始，与右下角项进行相乘，采用加减交替的形式算总和：

$$\int(x^2+x)e^xdx\\ =(x^2+x)e^x-(2x+1)e^x+2e^x+C$$

• 有理函数的积分

  • 将式子因式分解，拆成若干项最简有理分式之和.

• 有理函数积分的计算

  $$\int\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}dx.$$

  • 先将被积函数分解为最简有理分式之和

  $$\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}\\ =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1)^2}.$$

  • 将右边进行合并

  $$4x^2-6x-1\equiv(4A+2B)x^2 + (-4A+B+C)x + (A-B+C).$$

  • 由于系数相同，因此

  $$A=1，B=0，C=-2.\\ \int\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}dx=\\ \frac{1}{x+1}-\frac{2}{(2x-1)^2}.$$

  • 最后求积分

• 定积分的区间再现公式，令$x=a+b-t$可证

$$\int_{a}^{b}f(x)dx =\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx.$$

• 点火公式

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^8x dx=\frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}，n为偶数.$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^9x dx=\frac{8}{9} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1，n为奇数.$$

• 使用换元法，遇到根号，需要注意开根号之后的正负问题，最后求得原函数记得换回去，下例根号内的值一定为正值，在换元之后，上下限发生变化，$|\sin t|$是正值，则$|\sin t|=-\sin t$

$$\int_{0}^{1}\arcsin\sqrt{1-x^2}dx \xrightarrow{x=\cos t} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\arcsin(-\sin t)\cdot (-\sin t)dt=1.$$

• 设$f(x)$在$[0,1]$上连续，则

$$\int_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx.$$

• 变限积分的求导

$$F'(x)=\frac{d}{dx}[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt]\\ =f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x).$$

• 变限积分重要结论

  • $f(x)$为可积的奇函数$\Rightarrow\begin{cases}\int_0^xf(t)dt、\int_0^xf(t)dt+C皆为偶函数\\ \int_a^xf(t)dt为偶函数(a \not = 0)\end{cases}$.

  • $f(x)$为可积的偶函数$\Rightarrow\begin{cases}\int_0^xf(t)dt为奇函数\\ \int_a^xf(t)(a\not = 0)\begin{cases} 若 \int_a^xf(t)dt = \int_0^xf(t)dt，为奇函数 \\ 若\int_a^xf(t)dt \not = \int_0^xf(t)dt，为非奇非偶函数\end{cases}\end{cases}$.

  • $f(x)$是可积且以$T$为周期的周期函数，则$\int_0^xf(t)dt$是以$T$为周期的周期函数$\Leftrightarrow \int_0^Tf(x)dx=0$.

  • 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数，连续的偶函数的原函数中只有一个原函数为奇函数.

• 反常积分计算时，注意识别奇点（端点，内部）

  • 例如$\int_0^2f(x)dx$的奇点为$x=1$，则应该拆分为$\int_0^1f(x)dx+\int_1^2f(x)dx$.

  • 奇点处的值一般使用极限求得，分别对应奇点处的左极限和右极限.

• $\Gamma$函数

$$\Gamma(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}e^{-x}dx \xrightarrow{x=t^2}2\int_0^{+\infty}t^{2a-1}e^{-t^2}dt，\\ \Gamma(n+1)=n!，\\ \Gamma(\frac{5}{2})=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \Gamma(\frac{1}{2})，\\ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.$$

一元函数积分学的几何应用

• 曲线$r=r_1(\theta)$与$r=r_2(\theta)$与两射线$\theta=\alpha$与$\theta=\beta(0<\beta-\alpha\le2\pi)$围成的扇形面积

$$S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}|r_1^2(\theta)-r_2^2(\theta)|d\theta ，$$

$$S=\frac{1}{2}\int_{开始角度}^{结束角度}|外圈^2-内圈^2|d\theta.$$

• 曲线$y=y(x)$与$x=a$，$x=b(a < b)$及$x$轴围成的曲边梯形绕$x$轴旋转一周所得到的旋转体体积，其中$dx$为柱形的高，$\pi y^2(x)$为柱形的截面积.

$$V_x=\int_a^b\pi y^2(x)dx.$$

• 曲线$y=y(x)$与$x=a$，$x=b(0\le a < b)$及$x$轴围成的曲边梯形绕$y$轴旋转一周所得到的旋转体体积，其中$2\pi x$近似为圆柱壳的截面周长，$|y(x)|dx$为圆柱壳的竖截面长方形面积.

$$V_y=2\pi \int_a^bx|y(x)|dx.$$

• 曲线$L：y=f(x)$，$a\le x\le b$，绕$Ax+By+C = 0$旋转一周所得的旋转体体积，$d$是点到直线的距离，公式同样适用于绕$x,y$轴旋转体体积.

$$V=2\pi\int\int d dxdy.$$

$$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

• 古尔金定理：旋转体的体积等于截面积乘以截面积的形心绕直线旋转得到的周长，$d$是形心到直线的距离，$s$是截面积.

$$V=2\pi d s.$$

• 设$x\in[a,b]$，函数$f(x)$在$[a,b]$上的平均值为

$$\overline{y}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}y(x)dx.$$

• 设平面$D=\{(x,y)|0\le y\le f(x),a\le x\le b \}$，则形心坐标

$$\overline{x}=\frac{\int_a^bxf(x)dx}{\int_a^bf(x)dx}，$$

$$\overline y=\frac{\frac{1}{2}\int_a^bf^2(x)dx}{\int_a^bf(x)dx}.$$

• 若平面光滑曲线由直接坐标方程$y=y(x)$给出，则弧长

$$s=\int_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx.$$

• 若平面光滑曲线由参数方程$\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}$给出，则弧长

$$s=\int_\alpha^\beta \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt.$$

• 若平面光滑曲线由极值坐标方程$r=r(\theta)(\alpha\le\theta\le\beta)$给出，则弧长

$$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta.$$

• 曲线$L：y=f(x)$，$a\le x\le b$，绕$x$轴旋转一周所得的曲面面积，即$2\pi \int_a^b |y|sdx$.

$$S=2\pi\int_a^b|y|\sqrt{1+(y')^2}dx.$$

• 曲线$L：\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}\alpha\le t\le \beta$，$x'(t)\not = 0$，绕$x$轴旋转一周所得的曲面面积

$$S=2\pi\int_\alpha^\beta|y(t)|\sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2}dt.$$

• 曲线$L：r=r(\theta)$，$\alpha\le \theta \le \beta$，绕$x$轴旋转一周所得的曲面面积

$$S=2\pi\int_\alpha^\beta|r(\theta)|\sin \theta\sqrt{r^2(\theta)+[r'^(\theta)]^2}d\theta.$$

一元函数积分学-积分等式和积分不等式

• 积分等式中用中值定理

$$\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx.$$

• 设$f(x)$在$[0,1]$上连续，则

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1x^nf(x)dx=0.$$

• 不等式证明中遇到条件$f(x)$在$[a,b]$上连续的条件，一般使用单调性证明.

• 不等式证明中遇到条件$f(x)$一阶可导，且在某一个端点处值较为简单的情况下使用拉格朗日中值定理.

• 不等式证明中遇到条件$f(x)$二阶可导，且题目中具有较为简单的函数值的情况下使用泰勒展开式.

一元函数积分学-物理应用

• 变力沿直线做功，设力为$F(x)$，则沿着$a$到$b$做功为

$$W=\int_a^bF(x)dx.$$

• 抽水做功，设$\rho$为水的密度，$g$为重力加速度，则将容器中的水全部抽出做功，$a$是坐标轴低位，$b$是坐标轴高位，其中微元$dW=\rho g xA(x)dx$为位于$x$处的厚度$dx$，水平截面积 $A(x)$的水被抽出（路程为$x$）的做功.

$$W=\rho g\int_a^bxA(x)dx.$$

• 静水压力，垂直浸在水中的平板的一侧受到的压力，$a$是坐标轴低位，$b$是坐标轴高位，其中压力微元$dP=\rho gx[f(x)-h(x)]dx$，即侧面中的一个横矩形条受到的压力，$x$表示水深，$f(x)-h(x)$是矩形条的宽度，$dx$是矩形条的高度.

$$P=\rho g\int_a^bx[f(x)-h(x)]dx.$$

多元函数微分学

• 若下列极限等于$0$，则$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，否则不可微，其中$\Delta z$是全增量，$A$和$B$分别是$x$的偏微分、$y$的偏微分.

$$\lim_{\Delta x_0\rightarrow0 ,\Delta y\rightarrow 0} \frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}.$$

• 链式求导规则，设$z=f(u,v)$，$u=\varphi(x,y)$，$v=\psi(x,y)$，则$z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]$，且

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}，$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.$$

• 全微分形式的不变性，设$z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，如果$f(u,v)$，$u(x,y)$，$v(x,y)$，分别有连续偏导数，则复合函数$z=f(u,v)$在$(x,y)$处的全微分可以表示为

$$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv.$$

• 隐函数存在定理$1$，对于由方程$F(x,y)=0$确定的隐函数$y=f(x)$，当$F'_y(x,y)\not = 0$时，则有

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)}.$$

• 隐函数存在定理$2$，对于由方程$F(x,y,z)=0$确定的隐函数$z=f(x,y)$，当$F'(x,y,z)\not = 0$时，则有

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x(x,y,z)}{F'_z(x,y,z)}， \ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y(x,y,z)}{F'_z(x,y,z)}.$$

• 二元函数取极值的必要条件，设$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处一阶偏导数存在，且取极值，则$f'_x(x_0,y_0)=0$，$f'_y(x_0,y_0)=0$.

• 二元函数取极值的充分条件.

$$记\begin{cases} f''_{xx}(x_0,y_0)=A,\\ f''_{xy}(x_0,y_0)=B,\\ f''_{yy}(x_0,y_0)=C,\\ \end{cases} \:则\Delta=AC-B^2 \begin{cases} >0\Rightarrow极值 \begin{cases} A<0\Rightarrow极大值，\\ A>0\Rightarrow极小值， \end{cases}\\ <0\Rightarrow非极值，\\ =0\Rightarrow 方法失效，寻找他法. \end{cases}.$$

• 条件最值和拉格朗日乘数法，求目标函数$u=f(x,y,z)$在约束条件$\begin{cases}\varphi(x,y,z)=0\\\psi(x,y,z)=0 \end{cases}$的最值.

  • 构造辅助函数$F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z)$；

  • 令$\begin{cases}F'_x=f'_x+\lambda\varphi'_x+\mu\psi'_x=0，\\F'_y=f'_y+\lambda\varphi'_y+\mu\psi'_y=0，\\F'_z=f'_z+\lambda\psi'_z+\mu\psi'_z=0，\\F'_\lambda=\varphi(x,y,z)=0，\\F'_\mu=\psi(x,y,z)=0；\end{cases}$

  • 解上述方程，得到备选点$P_i,i=1,2,3,...,n$，并求$f(P_i)$，求得最大值和最小值.

二重积分

• 二重积分中值定理，设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，$A$为$D$的面积，则在$D$上存在一点$(\xi,\eta)$，使得（当原先的二重积分计算较为困难时使用中值定理）

$$\iint \limits_{D}f(x,y)d \sigma=f(\xi,\eta)A.$$

• 若$D$包含了所有$f(x,y)>0$的区域，则以下二重积分可以取到最大值.

$$max =\iint \limits_{D}f(x,y)d \sigma.$$

• 椭圆公式，其中长轴为$a$，短轴为$b$，椭圆面积为$S=\pi ab$.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

• 普通对称性，设$D$关于$y$轴对称，则

$$\iint \limits_D f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint \limits_{D_1}f(x,y)d\sigma，f(x,y)=f(-x,y) \\ 0, f(x,y)=-f(-x,y) \end{cases}.$$

• 轮换对称性，若在对换$x$,$y$之后，区域$D$的面积不变（或区域$D$关于$y=x$对称），则

$$\iint \limits_Df(x,y)d\sigma = \iint \limits_Df(y,x)d\sigma = \frac{1}{2}\iint \limits_Df(x,y)+f(y,x)d\sigma.$$

• 若$D_1$和$D_2$关于$y=x$轮换互对称，则

$$\iint \limits_{D_1}f(x,y)d\sigma=\iint \limits_{D_2}f(y,x)d\sigma\\ =\frac{1}{2}[\iint \limits_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint \limits_{D_2}f(y,x)d\sigma]\\ =\frac{1}{2}\iint \limits_{D_1\cup D_2}f(x,y)d\sigma，当f(x,y)=f(y,x)时成立.$$

• 在二重积分遇到$f(x,y)$不是初等函数时，一般需要交换积分次序，从先积$x$变成先积$y$或先积$y$变成先积$x$.

• 极坐标系下的计算方法

$$\iint \limits_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr，极点O在区域D外部.$$

$$\iint \limits_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta \int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr，极点O在区域D边界.$$

$$\iint \limits_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr，极点O在区域D内部.$$

• 当被积函数为$f(x^2+y^2)$，$f(\cfrac{y}{x})$，$f(\cfrac{x}{y})$优先使用极坐标系二重积分，否则考虑直角坐标系.

• 高斯积分$\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\cfrac{\sqrt{\pi}}{2}$.

• 二重积分换元

$$\iint \limits_{D_{xy}}f(x,y)dxdy，令\underrightarrow{x=x(u,v),y=y(u,v)}\\ \iint \limits_{D_{uv}}f[x(u,v),y(u,v)]\begin{vmatrix}\cfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\end{vmatrix}dudv，\\ 其中\begin{vmatrix}\cfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \cfrac{\partial x}{\partial u}&\cfrac{\partial x}{\partial v}\\ \cfrac{\partial y}{\partial u}&\cfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \not = 0.$$

微分方程

• 可分离变量型微分方程-直接可分离型

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx.$$

• 可分离变量型微分方程-换元后可分离

$$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)，令u=ax+by+c，则\\ \frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}， 代入原方程得\frac{du}{dx}=a+bf(u).$$

• 齐次型微分方程

$$形如\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})的方程叫做齐次型微分方程，解法为令u=\frac{y}{x}，则\\ y=ux\Rightarrow\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx},\\ 于是原方程变为x\frac{du}{dx}+u=\varphi(u)， 即\frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x}.$$

• 一阶线性微分方程

$$形如y'+p(x)y=q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，\\ 其中p(x),q(x)为已知的连续函数，其通解为\\ y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx} \cdot q(x)dx+C].$$

$$若\int p(x)dx=\ln|\varphi(x)|， 绝对值可以不加，其余不知正负一律加绝对值.$$

• 二阶可降微分方程 $y''=f(x,y')$型，方程中不显含未知函数，有一阶导数和二阶导数.

$$令y'=p，y''=p'，则原方程变为\frac{dp}{dx}=f(x,p),\\ 若求得通解为p=\varphi(x,C_1)，即y'=\varphi(x,C_1),\\ 则原方程通解为y=\int\varphi(x,C_1)dx+C_2.$$

• 二阶可降微分方程 $y''=f(y,y')$型，方程中不显含自变量$x$，有一阶导数和二阶导数.

$$令y'=p， y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} =\frac{dp}{dy}\cdot p ，原方程变为一阶方程p\frac{dp}{dy}=f(y,p),\\ 若求得通解为p=\varphi(y,C_1)，则由p=\frac{dy}{dx}可得\frac{dy}{dx}=\varphi(y,C_1),\\ 分离变量得\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=dx，两边进行积分得\int \frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2，求得通解.$$

• 二阶可降微分方程 $y''=f(y')$型，既不显含$y$，又不显含$x$，按照不显含$y$处理.

• 二阶常系数齐次线性微分方程

$$若y_1(x)，y_2(x)是y''+py'+qy=0的两个解，且\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\not =C \ (常数),\\ 则称y_1(x)，y_2(x)是该方程的两个线性无关解,\\ 且y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)是方程y''+py'+qy=0的通解.$$

• 二阶常系数齐次线性微分方程 - 通解

$$对于y''+py'+qy=0，其对应的特征方程为r^2+pr+q=0.$$

$$若p^2-4q>0，设r_1，r_2是特征方程的两个不等实根，即r_1\not = r_2，则通解为\\ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.$$

$$若p^2-4q=0，设r_1，r_2是特征方程的两个相等实根，即二重根，则通解为\\ y=(C_1+C_2x)e^{rx}.$$

$$若p^2-4q<0，设\alpha\pm\beta \text i是特征方程的一对共轭复根，则通解为\\ y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x).$$

• 二阶常系数非齐次线性微分方程

$$方程y''+py'+qy=f(x)(f(x)\not = 0)称为二阶常系数非齐次线性微分方程，\\ 其中p，q为常数，f(x)为已知的连续函数，叫做自由项.$$

$$若y^*_1(x)是y''+py'+qy=f_1(x)的解，y^*_2(x)是y''+py'+qy=f_2(x)的解，\\ 则y^*_1(x)+y^*_2(x)是y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)的解.$$

$$设y^*_1，y^*_2都是y''+py'+qy=f(x)的特解，则y^*_1-y^*_2是对应齐次方程的解.$$

• 二阶常系数非齐次线性微分方程 - 特解
  • 对于$y''+py'+qy=f(x)$，设$P_n(x)$，$P_m(x)$分别是$x$的$n$次、$m$次多项式.

$$当自由项f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}时，\\ 特解要设为y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k，\\ 其中 \begin{cases} e^{ax}照抄，\\ Q_n(x)为x的n次多项式，\\ k=\begin{cases} 0，\alpha 不是特征根，\\ 1，\alpha是单特征根，\\ 2，\alpha是二重特征根. \end{cases} \end{cases}.$$

$$当自由项f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]时，\\ 特解要设为y^*=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_l^{(2)}\sin \beta x]x^k，\\ 其中 \begin{cases} e^{ax}照抄，\\ Q_l(x)为x的l次多项式，l=\max\{m,n \}，\\ k=\begin{cases} 0，\alpha\pm \beta \text i不是特征根，\\ 1，\alpha\pm \beta \text i是特征根. \end{cases} \end{cases}.$$

• 二阶常系数非齐次线性微分方程 - 通解

$$若y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)是y''+py'+qy=0的通解，\\ y^*(x)是y''+py'+qy=f(x)的一个特解，\\ 则y(x)+y^*(x)是y''+py'+qy=f(x)的通解.$$

• $n\ (n>2)$阶常系数齐次线性微分方程 - 通解

$$若r为单实根，写\\ Ce^{rx};$$

$$若r为k重实根，写\\ (C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_kx^{k-1})e^{rx};$$

$$若r为单复根\alpha\pm\beta \text{i}，写\\ e^{ax}(C_1\cos\beta x+ C_2 \sin\beta x);$$

$$若r为二重复根\alpha\pm\beta \text{i}，写\\ e^{ax}(C_1\cos\beta x+ C_2 \sin\beta x +C_3x\cos\beta x+C_4x\sin \beta x).$$